Производная простыми словами – это понятие, подразумевающее проведение анализа в изменении математических величин, например, функции скорости. Ещё одно определение термина – средний наклон между двумя точками.
Производная функции – это итог дифференцирования функции. В математике понятие дифференцирования расшифровывается, как процесс, в результате которого одна функция превращается в другую.
Обратный процесс дифференцирования называется интегрированием, то есть возвращением к исходным данным.
Сложность представления и понимания термина в том, что он является абстрактным и в физическом смысле, наглядно, его представить невозможно.
Если привычные величины, употребляемые в математике – площадь, разность, сложение – объяснить несложно, то смысл функции производной – уловить трудно.
Королёв и Сидоров за контрольную работу по физике получили «4». Первый – доволен оценкой, второй – нет. Потому что: Королёв выше «3» никогда не получал, а Сидоров – круглый отличник, и для него такая оценка – трагедия. При применении к этому принципа динамик: у Королёва рост (функция растёт), а у Сидорова – падение (производная в минусе). То есть, оценка показывает общее положение дел, а производная – развитие этой ситуации и её перспективу.
Примеры производных
Для понимания представим любой объект, который перемещается в прямом направлении с изменяющимся ускорением. Так как оно постоянно меняется, то определить его следует в определённый момент «t0». Для этого определяется минимальный отрезок времени «Δt», а весь путь – «ΔS».
Следовательно, его скорость будет: ΔS / Δt. Чем короче период Δt, тем точнее будет скорость. Наиболее актуальное ускорение в момент t0 можно понять при расчёте предела Δt —>0:
Это пример физического смысла.
На примере этого рисунка раскрыт геометрический смысл производной.
Из представленный трёх графиков несложно понять, что третий вариант имеет более высокую скорость изменения, то есть производную.
История возникновения термина
Первое упоминание в мировом масштабе относится к XV веку и знаменитому математику Тартальи (Италия). Он вплотную подошёл к этой формулировки, проводя исследование: как влияет наклон пушки на расстояние полёта ядра. В результате у него возникло название и назначение современной формулировки производной.
Из наших соотечественников термин впервые употребил учёный-математик Висковатов в начале XVIII века.
Российский математик Чебышёв, ещё в XIX веке обращал внимание на то, что главную значимость приобретают те научные методы, с помощью которых извлекается прямая выгода в производственной деятельности. Тем самым,доказал значение производной для профессий и специальностей различных сфер:
- Технологи применяют методы для максимального выпуска продукции.
- При конструкции самолётов, составляющие деталей подбираются по принципу наименьшего веса, для облегчения общей конструкции.
- Экономисты при строительстве предприятий учитывают нахождение источников сырья в конкретной близости, чтобы минимизировать расходы на логистику.
